 | |
 |
| |
<ECTS> |
| |
| |
Politechnika Krakowska, Wydział Inżynierii Środowiska
KARTA MODUŁU Matematyka III
Rok II semestr 3 Kod modułu: BD.0301.OB/00 Liczba punktów: 6 Rodzaj modułu: obligatoryjny dla wszystkich Liczba punktów ECTS: 6
Jednostka realizująca moduł: Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej Kierownik modułu: Dr hab. S. Węglarczyk
Prowadzący zajęcia: Dr hab. S. Węglarczyk
Cele i spodziewane efekty kształcenia: Cele kształcenia: zrozumienie elementarnych problemów probabilistycznych i statystycznych oraz na-bycie umiejętności rozwiązywania prostych zadań z zakresu rachunku prawdopodobieństwa i wnios-kowania statystycznego, a także zastosowań m.in. w hydrologii i gospodarce wodnej. Efekty kształcenia:
Program merytoryczny modułu: ˇ Wstęp. Determinizm i indeterminizm w przyrodzie. Procesy i zjawiska deterministyczne i stocha-styczne. Rzeczywistość a jej modele. Rachunek prawdopodobieństwa a statystyka matematyczna. ˇ Rachunek prawdopodobieństwa (RP). Zdarzenia. Doświadczenie losowe, zdarzenie elementar-ne, przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń losowych. Działania na zdarzeniach. Prawdopodobieństwo. Problem z definicją. Definicja aksjomatyczna. Przykłady. ˇ Interpretacje pojęcia „prawdopodobieństwo”: klasyczna, teoriomnogościowa oraz statystyczna (częstościowa). Przestrzeń probabilistyczna (E, Z, P) doświadczenia losowego. Niektóre często stosowane wzory. Zdarzenie warunkowe AB i prawdopodobieństwo warunkowe P(AB). Niezależ-ność/zależność zdarzeń. Prawdopodobieństwo całkowite. Twierdzenie Bayesa. ˇ Zmienna losowa. Pojęcie zmiennej losowej. Jednowymiarowa zmienna X(e) i jej realizacja x. Rozkład prawdopodobieństwa P(S). Nierówność X<x jako zdarzenie losowe. Funkcje rozkładu: dystrybuanta F(x) i jej własności, funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia p(x), gęstość (roz-kładu) prawdopodobieństwa f(x) oraz rozkład prawdopodobieństwa pi=P(X=xi). Rodzaje zmien-nych losowych: dyskretna, ciągła i mieszana. Przykłady zastosowań, m.in. w hydrologii. ˇ Charakterystyki liczbowe i funkcyjne zmiennej losowej. Wartość oczekiwana EX zmiennej lo-sowej X jako jedna z miar jej położenia.Własności operatora E. Inne miary położenia: kwantyl rzę-du p, mediana, moda. Wariancja varX i odchylenie standardowe DX jako jedne z miar zmienności zmiennej. Własności operatora var. ˇ ˇ Niektóre dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa. Rozkład jednopunktowy i jego znaczenie. Równoważność varX=0X=const. Rozkłady dwupunktowy i równomierny. Schemat Bernoullie-go i rozkład Bernoulliego. Rozkład Poissona. Przykłady zastosowań, m.in. w hydrologii. ˇ Niektóre ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa. Rozkład równomierny. Rozkład normalny, jego własności i znaczenie. Zmienna standaryzowana. Obliczanie prawdopodobieństwa i kwantyli roz-kładu normalnego za pomocą tablic. Rozkłady asymetryczne: logarytmiczno-normalny, rozkład gamma (Pearsona typu III). Obliczanie prawdopodobieństwa i kwantyli tych rozkładów. ˇ Statystyka matematyczna (SM). Wstęp: podstawowe pojęcia - populacja i próba losowa; zakres klasycznej SM - estymacja statystyczna i weryfikacja statystyczna; niebezpieczeństwa wnioskowa-nia statystycznego jako wnioskowania zawsze obarczonego niepewnością. Próba losowa i staty-styka: próba losowa jako wektor losowy; prosta (niezależna) próba losowa; statystyka jako funkcja próby; średnia, wariancja, odchylenie standardowe i inne momenty z próby; funkcje momentów z próby; statystyki jako empiryczne (z próby) odpowiedniki „teoretycznych” pojęć RP. Statystyka ja-ko zmienna losowa: dokładny i asymptotyczny rozkład statystyki; rozkład normalny jako najczęst-szy rozkład graniczny; próba mała i próba duża; dystrybuanta empiryczna; podstawowe twierdze-nie SM; histogram jako empiryczny obraz funkcji gęstości; zasada Laplace’a niewystarczającego powodu jako podstawa przypisywania równych prawdopodobieństw wartościom z próby; rozkłady niektórych statystyk (wartości średniej i wariancji) dla populacji normalnej i dużej próby. Estyma-cja statystyczna: estymacja punktowa i przedziałowa; estymator parametru g populacji generalnej; podstawowe własności: zgodność, nieobciążoność i efektywność; twierdzenie Rao-Cramra; estymacja punktowa; metody: momentów, największej wiarygodności i kwantyli; estymacja przedziałowa; przedział ufności na danym poziomie ufności; przykłady zastosowań, m.in. w hydrologii. ˇ Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych. Hipoteza zerowa i hipotezy alternatywne. Pojęcie testu statystycznego. Błędy I i II rodzaju. Poziom istotności testu. Wartość krytyczna statystyki testowej. Testy parametryczne. Testy nieparametryczne (zgodności): Kołmogorowa i 2 Pe-arsona. Przykłady zastosowań, m.in. w hydrologii.
Słowa kluczowe: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna
Lista wymaganych wcześniejszych modułów: Matematyka I i II
Struktura modułu wykłady: 15 godz./sem. Łączna liczba godzin: 90 godz./sem. Ogółem godziny rozliczeniowe: 45 godz./sem.
Forma zaliczenia modułu: Egzamin pisemny Warunki dopuszczenia do egzaminu: pozytywna ocena z ćwiczeń audytoryjnych.
Podstawowe pomoce dydaktyczne: W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz.I i II, PWN, Warszawa, 1986 S. Węglarczyk, Metody statystyczne, skrypt, wyd. Polit. Krakowska, edycje 1993, 1996 lub 1999
Administracyjne ograniczenia modułu minimalna liczba studentów: maksymalna liczba studentów: |